Математическая модель двух- и трёхфазного горения лесных пожаров

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. А. Кулешов, Е. Е. Мышецкая, Математическое моделирование лесных пожа ров с применением двумерных многофазных моделей, Матем. моделирование,

2005, том 17, номер 1, 34–42

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 89.219.9.114

16 марта 2021 г., 10:33:48

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 2005 год, том 17, номер 1, стр. 34-42

−

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛЕСНЫХ ПОЖАРОВ

С ПРИМЕНЕНИЕМ ДВУМЕРНЫХ МНОГОФАЗНЫХ МОДЕЛЕЙ

 А.А.Кулешов, Е.Е.Мышецкая

Институт математического моделирования РАН, г. Москва, e-mail: kuleshov@imamod.ru

Работа выполнена при поддержке гранта PФФИ № 02-01-00712

Для многофазных моделей лесных пожаров описан алгоритм и численные методы решения задачи.

На тестовых примерах показаны результаты численного моделирования лесных пожаров по двух фазной и трехфазной моделям.

MATHEMATICAL MODELING OF FOREST FIRES

USING TWO-DIMENSIONAL MULTIPHASE MODELS

A.A.Kuleshov, E.E.Myshetskaya

Institute for Mathematical Modeling RAS, Moscow, e-mail: hq@imamod.ru

An algorithm and numerical methods for multiphase forest fires models is described. The results of forest fires numerical simulation for two- and three-phase models are shown on testcases.

Введение

В [1] были разработаны двумерные математические модели лесных пожаров, построен ные на основе уравнений динамики гетерогенных многофазных сред методом осреднения ис ходных трехмерных уравнений по высоте слоя лесных горючих материалов. В настоящей рабо те описан алгоритм решения задачи, основанный на методе расщепления системы уравнений по физическим процессам. Этот алгоритм не только упрощает численную реализацию задачи, но и позволяет в расчетах количественно оценить влияние отдельных членов, описывающих те или иные физико-химические процессы, на общую динамику процесса распространения пожара.

Приводятся методы решения отдельных подсистем расщепленной задачи и результаты числен ного моделирования.

1. Системы уравнений двумерных многофазных моделей

Приведем коротко уравнения трехфазной математической модели лесных пожаров, кото рая подробно описана в [1]

– газовая фаза

∂ρ ∂ρu ∂ρv

+ + = Q − Jρ ,

∂t ∂x ∂y

∂ρu ∂ (ρu 2 + φp) ∂ρuv                      ∂τ    ∂τ yx    ∂φ
+            +     = 2ρωz v − ρcd su V + xx +       + p − Ju ,
∂t      ∂x        ∂y                        ∂x    ∂y      ∂x

∂ρv ∂ρuv ∂ (ρv 2 + φp )                        ∂τ xy ∂τ yy    ∂φ
+    +              = −2ρωz u − ρcd sv V +      +      + p − Jv ,                             (1)
∂t   ∂x      ∂y                                ∂x    ∂y      ∂y

∂ρE ∂ (ρuE + φpu ) ∂ (ρvE + φpv) ∂  ∂T  ∂  ∂T 

( ) m

+ + =  ks  +  ks  + p ∑ Rφ j / ρ j − J Е +

∂t ∂x ∂y ∂x  ∂x  ∂y  ∂y  j =1

Математическое моделирование лесных пожаров с применением двумерных многофазных моделей

( ) ( )

+α ( T1 − T ) + α1 (Tcd − T ) − div W − 4σk жT 4 + σ ж1T14 − жT 4 + σ Tcd4 − жT 4 + f Γ + f ΓR + QT ,

∂ρC ∂ρuC ∂ρvC              ∂     ∂C  ∂      ∂C 
+    +    = R C − J C +  ρDC     +  ρDC    ,
∂t   ∂x   ∂y              ∂x    ∂x  ∂y     ∂y 

∂ρCc ∂ρuCc ∂ρvCc
+     +      = Rc − J c ,
∂t    ∂x    ∂y

p = p(ρ, T , C) ;

– дисперсная фаза

∂Vcd

= −c f (Vcd − Vw ) Vcd − Vw ,

∂t

∂ρcd ∂ρcd ucd ∂ρcd vcd

+ + = Rcd − J cd , (2)

∂t ∂x ∂y

∂ρcd cvcTcd ∂ρcd ucd cvcTcd ∂ρcd vcd cvcTcd

+ + = −α1 (Tcd − T ) − α 2 (Tcd − T1 ) −

∂t ∂x ∂y

−σ(Tcd4 − жT 4 ) − σ(Tcd4 − ж1T14 ) − J Tcd + QTcd ,

– твёрдая фаза

∂φ j ρj = Rφ j , j = 1,.., m , (3)

∂t

∂ m

( ) ( ) m

∑ ρ j φ j c pj T1 =− p ∑ Rφ j / ρ j − α (T1 − T ) + α2 (Tcd − T1 ) − σ ж1T14 − жT 4 + σ(Tcd4 − ж1T14 ) + QT1 ;

∂t j =1 j =1

− нормировочные и балансные соотношения
m                       n                  n                   m
φ + ∑ φ j + φcd = 1 , ∑ Ci + Ccd = 1 ,          ∑ Ri + Rcd = Q , ∑ Rφ = −Q . j
j=1                   i =1                 i =1                 j =1

В этой модели лесной пожар рассматривается как трехфазная трехтемпературная среда:

− газовая фаза является многокомпонентной средой, состоящей из горючих газов (CO,

H2, H4 и др.), негорючих газов (CO2, N2 и др.), окислителя (O2) и дисперсной сажи, а динамика газовой фазы описывается подсистемой уравнений (1), основными параметрами которой явля ются ρ, p, T , E , V = ( u, v ) − парциальная плотность, давление, температура, полная энергия и скорость газовой фазы, φ − объёмная доля газовой фазы, C = ( C1 , C2 ,..., Cn ) − массовые кон центрации газовых компонентов газовой фазы, Cc − массовая концентрация дисперсной сажи в газовой фазе, имеющей скорость газовой фазы V и температуру газовой фазы T (в предположе нии, что процесс теплообмена горящей сажи и газа идет достаточно быстро);

− дисперсная фаза, состоящая из горящих частиц одинакового радиуса r (монодисперсная смесь), которые переносятся в ветровом поле над слоем лесных горючих материалов (ЛГМ), описывается системой уравнений (2), основными параметрами которой являются ρcd , Tcd , Vcd = (ucd , vcd ) – парциальная плотность, температура и скорость дисперсных частиц,

Vw = (uw , vw ) − скорость ветра над лесным массивом;

− твердая фаза, которая является многокомпонентной средой, состоящей из лесных го рючих материалов и твёрдых продуктов пиролиза и горения ЛГМ, описывается системой урав нений (3), основными параметрами которой являются φ j , j = 1,..., m − объемные доли компо нентов твердой фазы в объеме трехфазной среды и T1 − температура твердой фазы.

36 А.А.Кулешов, Е.Е.Мышецкая

В [1] также построена двухфазная двухтемпературная модель лесных пожаров, уравне ния которой состоят из двух подсистем, описывающих газовую и твердые фазы − это подсис темы (1), (3) без членов, содержащих Tcd. Основное отличие трехфазной модели от двухфазной состоит в том, что в трехфазной модели дополнительно учитывается перенос сажи в ветровом поле над лесом. Тем самым в трехфазной модели рассматривается двухтемпературная двухско ростная модель переноса дисперсной сажи. Если скорость ветра над лесным массивом больше

скорости распространения пожара в лесном массиве, то частицы горящей сажи, двигаясь в вет ровом поле, могут распространяться за переднюю кромку фронта лесного пожара и, оседая, бу дут образовывать источники возгорания перед фронтом пожара. Процесс выпадения частиц са жи моделируется с помощью генератора случайных чисел. Таким образом, главное отличие и преимущество трехфазной модели по сравнению с двухфазной состоит в том, что трехфазная модель позволяет учесть важный механизм распространения лесного пожара частицами горя щей сажи, летящей по ветру над лесным массивом.

Реальный лесной массив имеет многоярусную вертикальную структуру [2] и распростра нение пожара в различных ярусах леса имеет свою специфику. Как правило, рассматриваются низовые и верховые пожары. Низовой пожар − это пожар в нижнем ярусе леса, где ЛГМ, в ос новном, являются сухая трава и кустарник. Верховой пожар − это пожар в верхнем ярусе леса − в кронах деревьев. Чаще всего механизм распространения реального лесного пожара таков [2]:

пожар распространяется в нижнем ярусе леса и от него происходит зажигание верхнего яруса

леса и возникает также верховой пожар. Верховой пожар без «подпитки» снизу низовым пожа ром, как правило, гаснет. Самостоятельное распространение верхового пожара возможно толь ко при наличии достаточно сильного ветра.

Рассмотренные выше модели описывают процесс распространения пожара в одном ярусе леса (в одном слое ЛГМ). При этом трехфазная модель более применима к описанию верхового лесного пожара.

Для описания реального лесного пожара была построена двухъярусная двухфазная мо дель лесного пожара, в которой подсистемы уравнений (1), (3) являются векторными. Все па раметры системы и исходные данные являются двухкомпонентными векторами, вообще говоря, различными для каждого яруса леса. Эта модель описывает совместное распространение низо вого и верхового пожара.

Результаты расчетов процесса распространения пожара в одном ярусе леса по двухфаз ной и трехфазной моделям и результаты расчета по двухъярусной двухфазной модели приведе ны ниже, в п. 3.

2. Алгоритм и численные методы решения задачи

2.1. Алгоритм численного решения задачи. При разработке численного метода реше ния рассмотренных систем был применен эффективный алгоритм расщепления по физическим процессам, применявшийся ранее в задаче о моделировании растекания облака тяжелого нереа гирующего газа по неоднородной поверхности [3].

На временном шаге [tn , tn +1 ] последовательно решаются задачи, начальными данными в которых служат решения, полученные на предыдущих этапах:

1-й этап. Перенос газовой фазы:

∂F ∂G ( F ) ∂H ( F )
+       +         = 0,                                                                (4)
∂t   ∂x       ∂y

где

ρ                   ρu                      ρv        
 ρu                 2                       ρuv       
                    ρu + φp                           
F =  ρv  ,   G ( F ) =  ρuv       ,   H ( F ) = ρv + φp  .

                                                      
 ρE                 ρuE + φpu               ρvE + φpv 
 ρC                 ρuC                     ρv C      
                                                      
Математическое моделирование лесных пожаров с применением двумерных многофазных моделей

2-й этап. Учет изменения импульса и энергии за счет расширения трубки тока:

∂ρu      ∂φn        ∂ρv      ∂φn            ∂ρE
(        )
m
= pn     ,          = pn     ,              = p n ∑ Rφn j / ρ j .
∂t       ∂x         ∂t       ∂y             ∂t       j =1

3-й этап. Учет выбывания субстанции на верхней и нижней границах слоя ЛГМ:
∂F                ∂Fcd
= −J F ,            = − J Fcd .
∂t                 ∂t
После 3–го этапа вычисляются:

ρu      ρv      ρE      ρC      1   u2 v2 
u=      , v=    , E=    , C=    , T = E − − .
ρ       ρ        ρ       ρ      cv  2  2 

4-й этап. Учет межфазного трения:

∂V

= −cd sV V , V = (u, v )T .

∂t

5-й этап. Учет скорости ветра в продуваемом лесном массиве V0:

∂V

= −ξ(V − V0 ) V − V0 .

∂t

6-й этап. Учет изменения импульса за счет ускорения Кориолиса:

∂V

= Fω , Fω = (2ωz v, −2ωz u )T .

∂t

7-й этап. Учет турбулентной вязкости, теплопроводности и диффузии:

u  νt 

   

∂W ∂  ∂W  ∂  ∂W 

= K v  νt 

+ K  , где W =  T  , K =  K  .

∂t ∂x  ∂x  ∂y  ∂y  s

   

  D

 s

8-й этап. Вычисление скорости дисперсной фазы:

∂Vcd ∂Vcd

= −c f ( Vcd − Vw ) Vcd − Vw , = −c f (Vcd − Vw ) Vcd − Vw ,

∂t ∂t где Vw − скорость ветра над лесным массивом.

9-й этап. Перенос массы и энергии дисперсной фазы:

∂ρcd ∂ρcd ucd ∂ρcd vcd

+ + =0,

∂t ∂x ∂y

∂ρcd cvcTcd ∂ρcd ucd cvcTcd ∂ρcd vcd cvcTcd

+ + =0.

∂t ∂x ∂y

10-й этап. Учет химических реакций:

изменение массы и массовых концентраций в газовой и дисперсной фазах и объемных долей компонентов твердой фазы за счет химических реакций:

∂ρ            ∂ρcd                   ∂φ j                                       m
= Q,            = Rcd ,     ρj           = Rφ j ,   φcd = ρcd / ρc , φ = 1 − ∑ φ j − φcd ,
∂t             ∂t                    ∂t                                         j =1
38                                                                                                            А.А.Кулешов, Е.Е.Мышецкая

∂ρ Ci

= Ri , i = 1,..., n ,

∂t n

Cc = 1 − ∑ Ci , i =1

изменение тепловой энергии за счет химических реакций:
∂ρcvT                       ∂ρcd cvcTcd
= QT , ,                          = QTcd ,
∂t                            ∂t

∂m 

 ∑ ρ j c pj φ j T1  = QT1 .

∂t  j =1 



11-й этап. Учет межфазного теплообмена и обмена лучистой энергией:

∂ρcvT

= α ( T1 − T ) + α1 (Tcd − T ) + σ(ж1T14 − жT 4 ) + σ(Tcd4 − жT 4 ) − 2σk жT 4 + FΓ + FΓR ,

∂t

∂ρcd cvcTcd

= −α1 (Tcd − T ) − α2 (Tcd − T1 ) − σ(Tcd4 − жT 4 ) − σ(Tcd4 − ж1T14 ),

∂t

∂ m

( ∑ ρ j c pj φ jT1 ) = −α(T1 − T ) + α2 (Tcd − T1 ) − σ(ж1T14 − жT 4 ) + σ(Tcd4 − ж1T14 ) .

∂t j =1

2.2. Численные методы решения. Рассмотренные выше подсистемы решались разност ным методом на прямоугольной сетке

ωh = {( xi , y j ), xi = ih1 , i = 1, N1 , y j = jh2 j = 1, N 2 }.

При этом, основную трудность представляет решение нелинейной системы уравнений (4), раз ностную схему для которой опишем подробно для более общего случая течения невязкого теп лопроводного газа.

Явная TVD разностная схема решения двумерной системы уравнений течения невязкого теплопроводного газа.

Разностная схема для этапа 1 имеет вид [4]:

Fijn +1 − Fijn          Gin+1/ 2, j − Gin−1/ 2, j       Hin, j +1/ 2 − Hin, j −1/ 2
+                               +                                 = 0,    i = 2, N1 − 1 ,   j = 2, N 2 − 1 ,
∆t                           ∆x                               ∆y
или
∆t n                              ∆t n
Fijn +1 = Fijn −       (Gi +1/ 2, j − Gin−1/ 2, j ) −    (Hi , j +1/ 2 − Hin, j −1/ 2 ) ,                                          (5)
∆x                                ∆y
где
G(FiL+1/ 2, j )+G(FiR+1/ 2, j )               FiR+1/ 2, j − FiL+1/ 2, j
n
Gi +1/ 2, j =                                 − Di +1/ 2, j
u
,
2
                    ρiL+1/ 2, j uiL+1/ 2, j                    
                                                               
         ρiL+1/ 2, j (uiL+1/ 2, j )2 + piL+1/ 2, j             
                                                               
G( Fi +1/ 2, j ) = 
ρi +1/ 2, j ui +1/ 2, j vi +1/ 2, j
L           L          L
,
 L                                                             
 ρi +1/ 2, j ui +1/ 2, j Ei +1/ 2, j + pi +1/ 2, j ui +1/ 2, j 
L            L               L        L

              ρiL+1/ 2, j uiL+1/ 2, j CiL+1/ 2, j              
                                                               
Математическое моделирование лесных пожаров с применением двумерных многофазных моделей

EiL+1/ 2, j =

( )

(uiL+1/ 2, j )2 + (viL+1/ 2, j )2 + cv Ti +L1/ 2, j ,

Diu+1/ 2, j = max{| uiL+1/ 2, j | + ciL+1/ 2, j , | uiR+1/ 2, j | + ciR+1/ 2, j },

ciL+1/ 2, j = ( γ ( γ − 1)cv Ti +L1/ 2, j )1/ 2 ,

piL+1/ 2, j = p(ρiL+1/ 2, j , Ti +L1/ 2, j , CiL+1/ 2, j );

( ) аналогичные формулы выписываются для G FiR+1/ 2, j , EiR+1/ 2, j , ciR+1/ 2, j , piR+1/ 2, j .

Для ϕ = (ρ, u, v, T , C ) :

∂ϕ ∆x ϕiL+1/ 2, j = ϕij + , i = 2, N1 − 1,

∂x i 2

∂ϕ     ∆x
ϕiR+1/ 2, j = ϕi +1, j −               ,            i = 1, N1 − 2,
∂x i +1 2

            ϕi +1, j − ϕij    ϕij − ϕi -1, j
0, если                    и                   разных знаков
                 ∆x                  ∆x
                если знаки одинаковы, то
∂ϕ       ϕi +1, j − ϕij           ϕi +1, j − ϕij     ϕij − ϕi -1, j
=
∂x i                     , если                   ≤
∆x                        ∆x               ∆x

    ϕij − ϕi -1, j           ϕi +1, j − ϕij    ϕij − ϕi -1, j
                    , если                   >
         ∆x                       ∆x                ∆x

i = 2, N1 − 1, ϕ3/

2, j = ϕ5 / 2, j , ϕ RN1 -1/ 2, j = ϕ RN1 -3/ 2, j .

Аналогичная аппроксимация выписывается по второй пространственной переменной.

Условие устойчивости схемы (5) имеет вид

∆t max(| uij | + cij ) < , ωh min( ∆x, ∆y ) 4

где c = ( γ ( γ − 1)cvT )1/ 2 − скорость звука, γ − показатель адиабаты, сv − удельная теплоемкость газа.

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений этапов 4−6 решаются аналитиче ски и аппроксимируются явной разностной схемой. Параболические уравнения этапа 7 решают ся стандартными сеточными методами, например, с помощью локально-одномерной разностной схемы или схемы переменных направлений (продольно-поперечной схемы) [5]. При аппрокси мации остальных этапов используются явные разностные схемы.

3. Результаты тестовых расчетов

3.1. Результаты тестовых расчетов по двухфазной модели. На рис.1,2 представлены результаты тестовых расчетов по распространению лесного пожара в одном ярусе леса (слое

ЛГМ) в продуваемом лесном массиве под действием ветра, дующего со скоростью V0=2 м/c в направлении, противоположном оси OX, в условиях неоднородного распределения запасов

ЛГМ. Источник пожара первоначально имеет форму круга. Схематично изображены поляна прямоугольной формы и дорога, на которых отсутствует растительность (см. рис.1а, рис. 2а).

40 А.А.Кулешов, Е.Е.Мышецкая

Рис.1 а) b)

На рис.1b видно выгорание ЛГМ и образование температурного фронта пожара, опреде ляемого по изотерме T=1200 K. Температура за фронтом постепенно падает. Фронт пожара об текает поляну и распространяется через узкую дорогу шириной 3 метра.

Рис.2 а) b)

На рис.2 изображена дорога шириной 20 метров. Фронт пожара не может преодолеть до рогу такой ширины и распространяется вдоль нее по направлению ветра.

3.2. Результаты тестовых расчетов по трехфазной модели. На рис.3-5 приведены ре зультаты тестовых расчетов процесса распространения верхового пожара по трехфазной модели для модельных ситуаций, аналогичных тем, которые были рассмотрены в случае двухфазной модели. Скорость ветра V0 направлена под углом 31° к оси Ox. На рис.3 пожар обтекает поля ну. На рис.4 пожар распространяется через дорогу шириной 20 м при скорости ветра V0 =7 м/с.

На рис.5 пожар не может преодолеть дорогу шириной 20 м при скорости ветра 2 м⁄с. Точки на рисунках 3-5 − это осевшие горящие частицы дисперсной сажи.

Математическое моделирование лесных пожаров с применением двумерных многофазных моделей 41

Рис.3. Рис.4.

Рис.5.

Результаты тестовых расчетов показывают, что и двухфазная, и трехфазная модели дают качественно правильную картину образования фронта пожара и его распространения под дей ствием ветра в условиях неоднородного распределения запасов ЛГМ на местности. Но, при этом, трехфазная модель позволяет учитывать важный механизм распространения пожара час тицами горящей сажи, летящей по ветру над слоем ЛГМ. Горящие частицы сажи оседают перед фронтом пожара и, при наличии там запасов ЛГМ, образуют новые очаги пожара, которые за тем сливаются с основным фронтом. При этом фронт пожара имеет форму фронта реальных лесных пожаров.

3.3. Результаты тестовых расчетов по двухъярусной двухфазной модели. На рис.6 представлены результаты тестовых расчетов процесса совместного распространения низового и верхового пожара для двухъярусной двухфазной модели при отсутствии ветра. На рис. 6а изо бражен очаг низового пожара в начальный момент времени и полянка прямоугольной формы. В начальный момент времени верховой пожар отсутствует. В дальнейшем происходит зажигание

верхнего яруса леса, возникает верховой пожар и происходит процесс совместного распростра нения верхового и низового пожара с обтеканием поляны. При этом температурный фронт ни зового пожара все время опережает фронт верхового пожара и зона опережения на рис.6b, 6c, 6d закрашена черным цветом.

42 А.А.Кулешов, Е.Е.Мышецкая

a) b)

c) d)

Рис.6. Двухъярусная двухфазная модель. Температурный фронт низового пожара опе режает фронт верхового пожара.

Авторы выражают благодарность В.Ф.Тишкину и Р.Н.Кузьмину за внимание к работе и полезные обсуждения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.    Кулешов А.А. Математические модели лесных пожаров. Математическое моделирование, 2002, т.14,
№ 11, с.33-42.
2.    Гришин А.М. Математическое моделирование лесных пожаров и новые способы борьбы с ними. − Но восибирск: Наука СО, 1992, 404с.
3.    Dobrocheev O.V., Kuleshov A.A., Lelakin A.L. A two dimensional model of heavy gas cloud dispersion under
industrial accidents, Preprint IAE – М.: 1991, № 5339/1, 16с.
4.    Зеленцов В.Б., Рындина Н.Ч., Тишкин В.Ф. Применение квазимонотонных разностных схем повышен ного порядка аппроксимации к нестационарной задаче о трещине продольного сдвига. // М.: Ин-т ма тем. моделирования РАН, 1993, Препринт № 20, 18с.
5.    Самарский А.А. Теория разностных схем. − М.: Наука, 1983, 616с.

Поступила в редакцию 20.05.2004.