УПРАВЛЕНИЕ ПОТОКАМИ ЛЮДЕЙ В ЗДАНИИ ВО ВРЕМЯ ЭВАКУАЦИИ

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕ

. 15. ВЫЧИСЛ. МАТЕМ. И КИБЕ

Н. 2020. ќ 4. С. 318

УДК 517.977, 519.710

1

М. В. Зайцева , П. А. Точилин

УП

АВЛЕНИЕ ПОТОКАМИ ЛЮДЕЙ В ЗДАНИИ ВО

В

ЕМЯ ЭВАКУАЦИИ*

Статья посвящена математическому моделированию движения групп людей в случае чрезвы- чайной ситуации, когда необходимо эвакуировать людей из помещения сложной структуры за наи- меньшее время, не допуская возникновения давки. При построении модели важно определить, какая ин ормация доступна для текущего анализа ситуации, а также какие параметры могут быть исполь- зованы в качестве управляющих. В статье рассмотрена макроскопическая модель потоков людей, в которой управляющими параметрами являются коэ

ициенты расщепления в отдельных частях помещения. Предложена схема калибровки модели посредством вспомогательной микроскопической модели, в которой учитывается поведение отдельных людей.

ешена задача оценивания минимально- го возможного времени, необходимого для завершения эвакуации. Приведен алгоритм для построения субоптимального управления.

Ключевые слова : моделирование поведения толпы, эвакуация, нелинейная динамика, управление по результатам наблюдений.

1. Введение.

азработка систем э

ективной и безопасной эвакуации  одна из важней- ших задач, которая возникает при конструировании и введении в эксплуатацию больших обще- ственных пространств, таких, как крупный торговый или о исный центр, здание железнодорож- ного вокзала или аэропорта. В этих местах ежедневно наблюдается скопление большого числа людей. В случае возникновения чрезвычайной ситуации (ЧС)  пожара, загрязнения отравля- ющими веществами и т.п.  это может привести к такому опасному явлению, как давка. При подобном развитии событий заранее разработанный план эвакуации может оказаться бесполез- ным, так как кратчайший путь к выходу для каждого человека совсем не обязательно будет самым быстрым и безопасным для всех посетителей.

Традиционно при математическом моделировании движения групп людей выделяют мик- роскопический макроскопический и подходы. В первом случае необходимо учитывать поведение каждого отдельного человека: его положение, скорость и направление движения. Однако в дан- ной работе количество эвакуируемых людей предполагается очень большим и отследить переме- щение каждого человека не представляется возможным. Поэтому в качестве основного следует использовать макроскопический подход и усредненную характеристику  плотность людей на квадратный метр ρ = ρ(t, x), где t ∈ [t0 , t1 ]  текущий момент времени, а x  вектор коор- динат, однозначно задающий положение в рассматриваемом здании. При этом для калибровки макромодели будет также задействован микроскопический подход.

В процессе построения модели важно учитывать общие психологические принципы, которыми руководствуются отдельные люди при эвакуации. Некоторые из них подробно описаны в [1℄ и [2℄.

В работах [3, 4℄ рассматривается микроскопическая модель взаимодействия людей, которая позволяет получить достаточно реалистичные результаты. В [3℄ для определения кратчайшего пути к выходу внутри одной комнаты используется метод дискретного динамического програм- мирования. Авторами предложен алгоритм, реализующий процесс эвакуации толпы из одноком- натного помещения с одним или двумя выходами.

В работе [5℄ сделана попытка построить макроскопическую модель движения толпы за счет обобщения гидродинамической модели аналогично тому, как это делается при моделировании

Факультет ВМК М У, асп., e-mail: zaimarkogmail. om

Факультет ВМК М У, доц., к.

.-м.н., e-mail: to hilin s.msu.ru

* абота выполнена при инансовой поддержке Московского центра ундаментальной и прикладной матема- тики М У имени М.В. Ломоносова (грант ќ 0751520191621),

ФФИ (проект 190100613а).

4 Зайцева М. В., Точилин П. А.

транспортных потоков. Но изложенный подход вряд ли может быть полезен при решении реаль- ных задач эвакуации из-за отсутствия необходимой для него ин ормации о точечной плотности людей в конкретной точке в заданный момент времени, а также из-за предложенной нереали- стичной схемы управления скоростью и направлением движения группы людей в каждой точке азового пространства.

В данной работе в качестве основы также выступает гидродинамическая макромодель. Од- нако существенное внимание уделяется адекватности схемы управления на основании реально доступной ин ормации.

Простейшая гидродинамическая модель потока автотранспортных средств [6℄ опирается на два предположения. Их моди икации будут использованы и для моделирования потоков людей:

€ количество людей в помещении постоянно, новые люди в анализируемой части пространства могут появляться и исчезать только в заданных входах и выходах;

€ скорость движения толпы является ункцией от ее плотности.

При этом следует отметить некоторые существенные особенности, отличающие моделирование групп людей от моделирования транспортных средств:

€ люди, в отличие от автомобилей, могут практически моментально менять направление дви- жения;

€ необходимо учитывать разнонаправленные и, более того, кон ликтующие потоки;

€ группа людей может останавливаться в какой-либо части помещения, даже если для дви- жения вперед по маршруту следования нет никаких препятствий.

Зависимость потока людей от плотности в произвольной точке f = f (ρ), как и в случае с моделями транспортных потоков, будем называть ундаментальной диаграммой . В данной работе будем использовать ундаментальную диаграмму в орме трапеции (модель риншилдса

[6℄):

f (ρ) = min{vρ, fmax , w(ρmax − ρ)}, ρ ∈ [0, ρmax ], (1)

где ρmax > 0  максимальная возможная плотность толпы, fmax  максимальный поток, v  скорость свободного движения, w  скорость распространения затора.

Определить величину ρ = ρ(t, x) для конкретной пары (t, x)  задача нетривиальная, поэтому заменим ρ(t, x) на ее аналог, проинтегрированный по части азового пространства. Далее будем производить дискретизацию по времени и пространству, и вместо исходной гидродинамической модели рассмотрим новую модель, являющуюся аналогом модели CTM (Сell Transmission Model) транспортных потоков [7℄.

2. Математическая модель. Пусть план помещения состоит из нескольких компонент, ко- торыми могут являться отдельные комнаты, коридоры или части больших помещений. Пусть

N  количество таких компонент, которые далее будем условно называть комнатами и обозна- чать R1 , . . . , RN . Комнаты могут быть соединены друг с другом при помощи дверей, лестниц и т.п. Если две комнаты на самом деле являются частями одного большого помещения, то они так- же считаются соединенными друг с другом. Таким образом, рассматриваемому плану помещения соответствует ориентированный гра

Γ = {R, T }, вершины которого  R1 , . . . , RN  составля- ют множество R, а ребра  переходы между ними. Через Tij обозначим ребро, соединяющее комнаты с номерами i и j (i, j ∈ {1, . . . , N }). Поскольку перемещения людей между соседними комнатами возможны в двух противоположных направлениях, то некоторым соседним вершинам

(с номерами i и j ) могут соответствовать пары ребер Tij и Tji . Множество ребер гра а обозначим через T .

Каждой комнате Ri сопоставим следующие характеристики: Si  площадь; Ci  максималь- ная вместимость (наибольшее количество человек, которое может одновременно находиться в

Управление потоками людей в здании во время эвакуации

этой комнате); ni (t)  количество людей, находящихся в комнате в момент времени t ∈ [t0 , t1 ].

Далее будем предполагать, что величина ni (t) является усредненной по небольшому интервалу времени, поэтому ункция ni (t) не обязательно является целочисленной, но условие ni (t) ∈ [0, Ci ] выполнено всегда.

Любой комнате Ri , имеющей хотя бы один выход (т.е. ∃j 6= i: ∃Tij ∈ T ), дополнительно припишем набор коэ

ициентов расщепления: α

(i) = (α(i) , α(i) , . . . , α(i) ), где k  количество

0 1 k

(i) (i) соседних комнат, в которые можно перейти из i-й. При этом αs ⩾ 0, ∀s = 0, . . . , k , и α0 + . . . +

(i)

+ αk = 1. Коэ

ициент расщепления (i) αj определяет долю от находящихся в некоторый момент времени в комнате Ri людей, которые предпочтут воспользоваться выходом Tij при эвакуации из

(i) данной комнаты. Коэ

ициент α0 задает долю людей, которые во время эвакуации не захотят покидать комнату Ri , например, из-за стрессового состояния либо из-за предположения, что оставаться в комнате безопаснее.

Далее будем считать, что величины α

(i) могут быть скорректированы системой управления

эвакуацией. А именно, для i-й комнаты рассмотрим следующие возможные значения коэ

ици- ентов расщепления, соответствующие двум сценариям во время эвакуации:

€ α̃(i)  набор коэ

ициентов в случае отсутствия в комнате какой-либо ин ормации о на- правлении движения к эвакуационным выходам  режим хаотичного движения неин ор- мированных людей в комнате;

€ α(i),j  набор коэ

ициентов, соответствующий ситуации, когда в комнате имеется ин ор- мация о необходимости эвакуироваться через выход Tij . Здесь номер j ∈ {1, . . . , N }  такой, что либо ∃Tij ∈ T , либо j = i.

(i),j (i),j

З а м е ч а н и е 1. Предполагается, что αj ≫ αs , ∀s 6= j , т.е. большинство людей воспри- мут инструкции по эвакуации и попытаются выйти из комнаты через указанный им выход.

З а м е ч а н и е 2. Допустимой считается ситуация j = i, соответствующая инструкции оста- ваться в комнате. Такая необходимость может возникнуть, например, из-за опасности возникно- вения давки где-либо на пути эвакуации. В общем случае α

(i),i 6= α̃(i) .

Через Itab ⊆ {1, . . . , N } обозначим множество номеров комнат, в которых имеются управля- емые ин ормационные панели для оповещения людей о направлении эвакуации. Это означает, что в таких комнатах можно изменять коэ

ициенты расщепления, выбирая их из указанного выше набора допустимых значений.

Дополнительно рассмотрим комнату RN +1 : CN +1 = +∞, которая соответствует пространству вне рассматриваемого здания, куда совершается эвакуация. Будем считать, что каждая комната

Ri , имеющая выход из здания, соединена с RN +1 ребром Ti(N +1) . Основная задача  перевести всех людей из комнат Ri , i = 1, . . . , N , в комнату RN +1 .

Каждому переходу Tij сопоставим тройку (vij , Fij , wij ), где vij , Fij , wij  коэ

ициенты, по- добные коэ

ициентам ундаментальной диаграммы транспортной модели (1). В данном случае для характеристики пропускной способности соединения между комнатами Ri и Rj используется ее аналог:

                         
ni           Cj − n j
fij (ni , nj ) = min vij , Fij , wij            ,             ni ∈ [0, Ci ],       nj ∈ [0, Cj ].   (2)
Si             Sj

Для моделирования движения групп людей между комнатами воспользуемся моди икацией модели CTM.

ассмотрим дискретное время t = t0 , t0 + ∆t, . . . , t1 = t0 + K∆t и следующие уравнения для пересчета количеств людей в комнатах:

                                       
X                     X
ni (t + ∆t) = ni (t) + ∆t              fji (t) −             fij (t) , ∀i = 1, . . . , N,        (3)
Tji ∈T                Tij ∈T
6                                                                                            Зайцева М. В., Точилин П. А.

где fij (t)  поток людей на соединении Tij в момент времени t. Указанные здесь потоки опреде- ляются как решение следующей задачи оптимизации:

fij (t) → max , (4) fij ,λj i,j : Tij ∈T

0 ⩽ fij (t) ⩽ Fij − γfji (t), ∀i, j : Tij ∈ T , (5)

                         
(i)      ni (t)
fij (t) ⩽ min λj αj (t)vij        , Fij , λj ∈ [0, 1],                                       (6)
Si
X fij (t)  Cj − nj (t) 
⩽                  .                                                  (7)
wij               Sj
i : Tij ∈T

Здесь λj ∈ [0, 1], j = 1, . . . , N ,  вспомогательные коэ

ициенты, позволяющие корректно об- работать кон ликтные ситуации, когда суммарный входящий поток в j -ю комнату превосходит количество свободного места в ней. Такая ситуация интерпретируется как возникновение давки, для ее описания будем использовать моди икацию модели перекрестка кон ликтующих транс- портных потоков [8℄. Значения λj = 1 соответствуют ситуации, когда потоки не кон ликтуют.

Постановка задачи максимизации суммарных потоков обусловлена тем, что в ситуации экс- тренной эвакуации люди пытаются как можно скорее попасть ближе к эвакуационным выходам, согласуя свои действия с инструкциями спасателей или ин ормационными табло, занимая при этом все доступное свободное пространство в комнатах и переходах между ними.

Коэ

ициент γ ⩾ 1 определяет влияние разнонаправленных потоков людей через общее соединение между комнатами. В частном случае, когда Fij = Fji , γ = 1, ограничение (5) сводится к неравенству fij (t)+fji (t) ⩽ Fij , т.е. люди свободно перемещаются из одной комнаты в соседнюю и обратно, не мешая друг другу.

2.1. Неопределенность в параметрах модели. При моделировании движения группы людей имеет смысл добавить возможные помехи (неопределенность) в параметры описанной вы- ше модели. Ограничения на величины vij , wij , Fij , α̃

(i) , α(i),j считаются известными:

(i) (i) (i),j (i),j vij ∈ [vij,− , vij,+ ], wij ∈ [wij,− , wij,+ ], Fij ∈ [Fij,− , Fij,+ ], α̃(i) ∈ [α̃− , α̃+ ], α(i),j ∈ [α− , α+ ].

О том, как можно получить такого рода оценки, будет сказано в следующем разделе.

3. Калибровка модели. Этап калибровки предполагает оценивание основных параметров модели: скорости свободного движения vij , скорости распространения затора wij , коэ

ици- ента влияния двунаправленных потоков на уменьшение пропускной способности γ , коэ

ициен- тов расщепления α̃

(i) , α(i),j , максимальных вместимостей комнат C , максимальных пропускных i способностей Fij . Все введенные параметры определяются размерами комнаты, расположением входов/выходов, и могут быть найдены опытным путем. Однако в данной работе предполагается более простой способ их оценивания  с помощью микромоделирования потоков людей.

Для проведения серии вычислительных экспериментов будем использовать модель из [4℄. Она описывает общие принципы поведения людей в толпе средствами математического моделирова- ния. В основе данного подхода лежит применение методов молекулярной динамики, где в каче- стве потенциальных сил рассматриваются социально-психологические акторы взаимодействия между отдельными людьми.

3.1. Молекулярная модель взаимодействия людей в толпе. Пусть i-й человек 1 < i <

< n, масса которого mi , желает двигаться с некоторой скоростью vi0 в определенном направлении,

0 z−xi (t) например, к выходу из помещения с координатами z : vi (t) = v0 ei (t) = v0 kz−xi (t)k . Однако его ак- тическая скорость vi (t) изменяется через некоторые промежутки времени τi , подстраиваясь под текущую ситуацию. Во время движения человек пытается держать дистанцию до стен помещения

Управление потоками людей в здании во время эвакуации

и до других людей  это моделируется с помощью сил взаимодействия Fi

W и F соответственно.

ij

Тогда изменение скорости и положения можно описать следующими уравнениями:

dxi (t)                  dvi (t)     v 0 (t) − vi (t) X       X
= vi (t),   mi           = mi i              +  Fij +   FiW .
dt                       dt                τi
j6=i       W

Желание двух человек i и j находиться на некотором расстоянии друг от друга характе- ризуется отталкивающей силой взаимодействия Ai exp[(rij − dij )/Bi ]nij , где Ai , Bi  константы, dij = ||xi (t) − xj (t)|| определяет расстояние между центрами масс, rij = ri + rj  сумма двух ра-

1 2 xi −xj диусов (ri  радиус i-го человека), а nij = (nij , nij ) = dij  вектор нормали, направленный от j -го человека к i-му. Другие специ ические характеристики поведения в толпе описываются си- лой сопротивления сдавливанию k(rij − dij )nij и силой, препятствующей изменению направления движения, κ(rij − dij )∆vij tij , если i-й человек находится близко к j -му. Здесь k, κ  константы, tij = (−n2ij , n1ij )  касательный вектор и ∆vij = hvj − vi , tij i. В итоге получаем

Fij = (Ai exp{(rij − dij )/Bi } + k max{0, rij − dij }) nij + κ max{0, rij − dij }∆vij tij .

Влияние стен помещения FiW описывается аналогичным образом, т. е. diW обозначает мини- мальное расстояние от i-го человека до стены W , niW  перпендикулярное к ней направление, а tiW  касательное. Тогда

FiW = (Ai exp{(ri − diW )/Bi } + k max{0, ri − diW }) niW − κ max{0, ri − diW } hvi , tiW i tiW .

В табл. 1 указаны величины основных параметров модели, схожие с использованными в [4℄.

Та б л и ц а 1

Параметры модели поведения людей в толпе

Символ                         Описание                         Значение      Единица измерения
mi                       Масса человека                           80                  кг
ri
адиус человека                      [0.15, 0.25]             м
vi0                   Желаемая скорость                           1.3                м/с
τi                 Время реакции человека                         0.5                    с
Ai               Коэ

ициент отталкивания                       2 · 103               Н
Bi               Коэ

ициент отталкивания                        0.08                 м
k        Коэ

ициент сопротивления сдавливанию 1.2 · 105 кг · c

−2

κ Коэ

ициент изменения направления                   2.4 · 105        кг · м
−1 ·        −1

3.2. Пример 1. Оценивание параметров ундаментальной диаграммы.

ассмотрим две комнаты, соединяющиеся между собой проходом шириной d(z) = 1 м. Будем внутри них моделировать поток людей, движущихся из одной комнаты в другую. Начальные положения лю- дей  случайные. Далее, предположим, поступил сигнал эвакуироваться, и люди стали двигаться по направлению к выходу.

Для разных количеств людей n внутри помещения будем подсчитывать количество прошед- ших из первой комнаты во вторую за время T , причем будем делать такой подсчет несколько раз для каждого n.

8 Зайцева М. В., Точилин П. А.

а б ис. 1. Построение ундаментальной диаграммы: а  результаты моделирования при d(z) = 1 м; б  значения параметров

На основе результатов экспериментов (рис. 1, а ) найдем итоговую ундаментальную диа- грамму [9℄ в виде трапеции. Для этого используем метод наименьших квадратов.

ассмотрим m некоторое множество данных {(xi , yi )}i=1 , упорядоченных по величинам xi . Здесь xi  количе- ство людей в очередном вычислительном эксперименте, а yi  число людей, прошедших через дверь между комнатами за заданное время. Для начала иксируем точки t1 и t2 , в которых бо- ковые стороны трапеции пересекают верхнее основание. Будем искать ункцию в виде



k1 x,

 x1 ⩽ x < xt1 , f (x) = c, xt1 ⩽ x ⩽ xt2 ,

 k2 (xm − x), xt2 < x ⩽ xm .



Наилучшая аппроксимация соответствует решению задачи условной оптимизации:

1 −1
tX                         t2
X                      m
L=            (k1 xi − yi )2 +            (c − yi )2 +            (k2 (xm − xi ) − yi )2 → min
k1 ,k2 ,c
i=1                        i=t1                  i=t2 +1

при ограничениях k1 xt1 = c, k2 (xm − xt2 ) = c.

ешение может быть найдено в явном виде:

−1 t1P m

P t2

P xt2 xi yi + xt1 (xm − xi )yi + xt1 xt2 yi c c i=1 i=t2 +1 i=t1 k1 = , k2 = , c= −1

.

xt1 xt2 xt2 t1P x m x2i + xtt1 (xm − xi )2 + xt1 xt2 (t2 − t1 )

P xt1 + i=1 i=t2 +1

Найдем значения t1 и t2 , минимизирующие ункцию L, за счет перебора значений индексов

1 < t1 ⩽ t2 < m.

Теперь определим границы погрешностей величин vij ∈ [vij,− , vij,+ ], wij ∈ [wij,− , wij,+ ] и б

Fij ∈ [Fij,− , Fij,+ ] (рис. 1, ). Фиксируем найденные вершины трапеции xt1 , xt2 и будем подбирать основания Fij,− , Fij,+ так, чтобы доля точек (xi , yi ), для которых выполняется Fij,− ⩽ yi ⩽ Fij,+ , была более 90% от общего числа точек на отрезке xt1 ⩽ xi ⩽ xt2 . Тогда оценки на погрешности остальных величин выписываются явным образом:

Fij,s                     Fij,s
vij,s =         ,      wij,s =             ,       s = {+, −}.
xt1                     xm − xt2

Численные значения найденных границ для конкретного примера указаны в табл. 2.

Управление потоками людей в здании во время эвакуации

Та б л и ц а 2

Параметры
ундаментальной диаграммы из примера 1
Символ                     Описание                            Значение       Единица измерения
d(z)            Ширина дверного проема                            1                    м
nmax        Максимальное количество людей                        200                 чел.
Si                 Площадь комнаты i                            25                   м

Sj Площадь комнаты j 25 м

Fij Максимальный поток [1.12, 1.96] чел./с vij Скорость свободного движения [0.08, 0.14] м /с wij Скорость распространения затора [0.016, 0.028] м /с

Аналогичные расчеты могут быть проделаны для разных соединений и разных комнат. Таким образом можно получить оценки параметров всех ундаментальных диаграмм, используемых в совокупной математической модели.

3.3. Пример 2. Оценивание коэ

ициентов расщепления. Теперь предположим, что люди хотят покинуть помещение, в котором имеется несколько выходов в зоне видимости. У каж- дого i-го человека в таком случае три варианта действия: самостоятельно выбрать выход и на- правление к нему ei (t), усреднить направления движения его j -х соседей hej (t)ii , находящихся от него в радиусе Ri , или попытаться объединить два этих подхода. Введем в качестве характе- ристики весовой параметр pi : 0 ⩽ pi ⩽ 1, тогда направление i-го человека к выходу принимает

(1−pi )ei +pi hej (t)ii следующий вид: ei (t) = k(1−pi )ei +pi hej (t)ii k . Если число pi мало, то реализуется первая ситуация, когда человек самостоятельно принимает решение, в каком направлении ему двигаться. Если число pi велико, то реализуется второй вариант, когда человек больше предпочитает доверять выбору окружающих его людей, чем своему собственному, и наблюдается стадное поведение, т.е.

параметр pi отражает степень паники i-го человека во время эвакуации.

Используем предложенную модель для оценки коэ

ициентов расщепления α̃

(i) . В качестве

примера промоделируем процесс эвакуации n = 55 человек из комнаты, в которой есть три выхода. Пусть ширина проходов равна: d(z1 ) = 1.2 м, d(z2 ) = 0.9 м, d(z3 ) = 2.4 м, весовой коэ

ициент pi  случайное число из отрезка [0, 1]. Будем также предполагать, что на выбор направления отдельного человека оказывают влияние люди, находящиеся в непосредственной

Ri = 0.5 м. Изначально каждый человек выбирает направление к своему бли- близости, т.е.

zimin −xi (t0 ) min = arg min kz − x (t )k. Исходное распределение жайшему выходу, т.е. ei (t0 ) = , zi j i 0 kz min −x (t )k i i j∈{1,2,3} людей по выходам следующее: nz1 = 19, nz2 = 13, nz3 = 23. Далее во время движения и взаимодействия с окружающими людьми менялось их текущее расположение и, соответственно, ближайший выход. Итоговое распределение и получившиеся коэ

ициенты расщепления таковы:

nz1 = 18, nz2 = 11, nz3 = 26, α̃0,1 = 0.33, α̃0,2 = 0.2, α̃0,3 = 0.47. Теперь в этом же помещении проведем серию экспериментов для разных количеств людей. Используя результаты эксперимен- тов, можно найти ограничения на погрешности коэ

ициентов расщепления: α̃

0,1 ∈ [0.306, 0.452],

α̃0,2 ∈ [0.131, 0.262], α̃0,3 ∈ [0.359, 0.505].

4. Наблюдения. В отдельных частях рассматриваемого здания могут располагаться каме- ры видеонаблюдения, пусть Icam ⊂ {1, . . . , N }  множество комнат, в которых доступны данные с камер. Для каждого i ∈ Icam по мере проведения эвакуации становится известной следую- щая ин ормация: 1) акт наличия или отсутствия чрезвычайной ситуации в данной комнате;

2) оценка текущего количества людей:

yi (t) = ni (t) + ξi (t), (8)

где ξi (t) ∈ [−Ξ, Ξ]  погрешность измерения. Измерения поступают в моменты времени t =

= τ0 , . . . , τK : τj = t0 + j∆t, j = 0, . . . , K .

10 Зайцева М. В., Точилин П. А.

Множество номеров комнат, для которых в момент времени t была за иксирована ЧС, обо- значим через Iem (t). Это множество зависит от времени и в ходе эвакуации может только увели- чиваться.

5. Допустимые управления. Предположим, что в начальный момент времени t0 появи- лась ин ормация о возникновении ЧС. Необходимо организовать эвакуацию людей из рассмат- риваемого здания за счет использования управления, в роли которого выступают инструкции по направлению эвакуации двух видов:

€ в каждую комнату, оснащенную ин ормационными табло, в каждый дискретный момент времени передается ин ормация о направлении движения или инструкция оставаться в этой комнате;

€ каждому сотруднику, имеющему связь с централизованной системой регулирования пото- ков людей, передается ин ормация о необходимости двигаться в определенном направле- нии или оставаться в комнате. Таких ин ормированных сотрудников далее будем называть

спасателями.

Централизованной системе управления эвакуацией в каждый дискретный момент времени доступна следующая ин ормация:

€ план помещений в виде гра а Γ = {R, T }, множества Iexit, Icam , Itab , параметры матема- тической модели: площади, максимальные вместимости комнат;

€ интервалы возможных значений коэ

ициентов расщепления, а также интервалы пара- метров ундаментальных диаграмм соединений;

€ множества Iem(t);

€ оценки количеств людей yi (t) в комнатах i ∈ Icam ;

€ оценки положений спасателей zi (t).

Через Isav (t) обозначим множество номеров комнат, в которых находятся спасатели. Множе- ство Isav (t) зависит от времени, так как спасатели движутся в процессе эвакуации.

Управление в каждый момент времени должно быть с ормировано в виде инструкций спа- сателям, а также в виде рекомендаций, передаваемых через ин ормационные табло. Это озна- чает, что в каждый момент времени t должны быть заданы наборы коэ

ициентов расщепле- ния α

(i) (t), где i ∈ I tab ∪ Isav (t). Эти коэ

ициенты для каждого иксированного i выбираются из указанных выше допустимых конечных наборов.

Будем говорить, что стратегия управления U (t, y[t0 , t]) = {α(i) (t) : i ∈ Itab ∪ Isav (t)} является допустимой , если выполняются следующие условия:

€ для любых соседних комнат Ri1 , Ri2 : i1 , i2 ∈ Itab ∪ Isav (t), если α(i1 ) (t) = α(i1 ),i2 , то α(i2 ) (t) 6=

6= α(i2 ),i1 , т.е. встречные потоки недопустимы;

€ для любой комнаты Ri : i ∈ Itab ∪ Isav (t), i ∈

/ Iem (t), следует, что α(i) (t) 6= α(i),j , ∀j : Rj  соседняя комната, такая, что j ∈ Iem (t), т.е. маршрут эвакуации не должен затрагивать комнаты с ЧС;

€ для любой комнаты Ri , имеющей выход из здания, возможно только α(i) (t) ≡ α(i),N +1 ;

€ для любой комнаты Ri : i ∈ Itab ∪ Isav (t), следует, что α(i) (t) 6= α̃(i) .

ассмотрим множество PΘ всех допустимых программных управлений U (t), t ∈ Θ (Θ  некото- рый интервал из R).

При иксированной стратегии управления, используя описанную выше математическую мо- дель движения толпы, можно оценить количество людей в той или иной комнате в любой буду- щий момент времени. Будем использовать простейшие, интервальные оценки следующего вида:

Управление потоками людей в здании во время эвакуации

ni (t) ∈ [ni,− (t), ni,+ (t)]. Совокупность таких интервалов для разных комнат образует внешнюю оценкуин ормационного множества рассматриваемой динамической системы. Ин ормацион- ным множеством N [t] = N (t, {yi [t0, t] : i ∈ Icam}) рассматриваемой системы называется объеди- нение всех возможных состояний n(t) = [n1 (t), . . . , nN (t)], совместных с поступившими к моменту времени t результатами наблюдений (8) и ограничениями 0 ⩽ ni (t) ⩽ Ci , i ∈ {1, . . . , N }.

За иксируем некоторый коэ

ициент β ∈ (0, 1). Будем считать, что в некоторой комнате с номером i возможна давка в момент времени t, если ni,+ (t) > βCi . Предположим, что в началь- ный момент времени ni,+ (t0 ) ⩽ βCi ∀i.

6. Оценки ин ормационных множеств. За иксируем некоторую допустимую страте- гию управления U (t, y[t0 , t]), ∀t ⩾ t0 . Построим отрезки [ni,− (t), ni,+ (t)], i = 1, . . . , N , t ⩾ t0  внешние интервальные оценки ин ормационных множеств. В начальный момент времени t0 та- кую оценку с ормируем на основании результатов наблюдений:

 ni,− (t0 ) = max{0, yi (t0 ) − Ξ},

(9) ni,+ (t0 ) = min{βCi , yi (t0 ) + Ξ}, если i ∈ Icam ,

 ni,− (t0 ) = 0,

(10) ni,+ (t0 ) = βCi , если i ∈

/ Icam .

Далее при t ⩾ t0 процесс построения оценки состоит из поочередного применения ормул (3), которые реализуютшаг динамики , и (8)  учет результатов наблюдений .

€ Шаг динамики       :
                                          
X                     X
ni,s (t + ∆t) = ni,s (t) + ∆t                      fji,s(t) −            fij,s̄(t) , ∀i = 1, . . . , N,   (11)
Tji ∈T                Tij ∈T

где величины fij,s , s ∈ {+, −}, находятся как решения следующих вспомогательных задач оптимизации: X fij,s(t) → max , (12) fij,s ,λj,s i,j : Tij ∈T n

(i) ni,s (t) o

0 ⩽ fij,s(t) ⩽ min λj,s αj,s (t)vij,s , Fij,s − γfji,s̄ (t) , ∀i, j : Tij ∈ T , λj,s ∈ [0, 1],

Si

X fij,s(t)  Cj − nj,s̄ (t) 

⩽ .

wij,s Sj i : Tij ∈T

Здесь s̄ = +, если s = −, и s̄ = −, если s = +.

€ Учет результатов измерений :

ni,− (t + ∆t) = max{ni,− (t + ∆t), yi (t + ∆t) − Ξ}, ∀i ∈ Icam , (13)

ni,+ (t + ∆t) = min{ni,+ (t + ∆t), yi (t + ∆t) + Ξ}, ∀i ∈ Icam . (14)

Если в результате применения ормул (13), (14) получилось, что выполняется ni,+ (t+∆t) <

< ni,− (t + ∆t), то это может соответствовать либо неверным параметрам используемой ма- тематической модели, либо некорректным данным, полученным от камер наблюдения. Если подобная ситуация возникла на этапе калибровки и тестирования системы, то необходимо внести соответствующие корректировки в используемые параметры. Если же такая ситуа- ция возникла непосредственно в процессе эвакуации, то будем расценивать ее как ошибку системы видеонаблюдения, а потому переопределим величины ni,+ (t + ∆t), ni,− (t + ∆t) в соответствии с (9), (10).

12 Зайцева М. В., Точилин П. А.

7.

асстояние от комнаты до эвакуационных выходов. В дальнейшем будем исполь- зовать вспомогательную величину di (y[t0 , t]), i = 1, . . . , N ,  расстояние от i-й комнаты до бли- жайшего эвакуационного выхода. Оно учитывает имеющуюся на текущий момент ин ормацию о положении ЧС и определяется следующим простым алгоритмом:

1) Положим dN +1 = 0, пусть изначально di = +∞ для остальных номеров i.

2) Пусть n o i∗ = arg min di : di < +∞, ∃j ∈ {1, . . . , N } : j ∈

/ Iem (t), dj = +∞, Tji ∈ T .

i∈{1,...,N }

3) Если удалось определить i , то ∀j : dj

∗ = +∞, Tji∗ ∈ T , j ∈

/ Iem(t), положим dj = di∗ + 1.

Алгоритм снова переходит к п. 2.

4) Если в п. 2 определить i

∗ не удалось, то алгоритм завершает работу.

Заметим, что для тех частей здания, которые в результате ЧС оказались изолированными от выходов, di = +∞. Пусть Iact (t) = {i = 1, . . . , N : di (y[t0 , t]) < +∞}.

8. Наименьшее время эвакуации без давки. В данном разделе построим оценку свер- ху для гарантированного времени эвакуации из здания при условии, что в процессе эвакуации ни в одной из комнат не возникнет давка.

ассмотрим частный случай, когда Iem (t) = const,

Isav (t) ≡ ∅. Отсюда, в частности, следует, что Iact (t) ≡ Iact  не зависит от времени. Пусть ε > 0  достаточно малое число. Определим минимальное время безопасной эвакуации следую- щим образом:

n

K ∗ = min K ∈ N : ni,+ (t0 + K∆t) ⩽ ε, ∀i ∈ Iact ,

U (·)∈P o причем ni,+ (t0 + k∆t) ⩽ βCi , ∀i ∈ Iact , ∀k = 1, . . . , K , (15)

при условии, что известна начальная оценка ин ормационного множества ni,s (t0 ), ∀i = 1, . . . , N , s ∈ {+, −}. Построим оценки времени K ∗ , а также изучим достаточные условия того, что K ∗ < ∞, т.е. безопасная эвакуация возможна.

Л е м м а (о монотонности решений по начальным данным). За иксируем произвольное управ- ление U (·) ∈ P[t ,+∞).

ассмотрим две начальные ситуации с разными оценками ин ормаци-

онных множеств, задаваемыми величинами n(1) i,s (t0 ), ni,s (t0 ), i = 1, . . . , N, s ∈ {−, +}. Пусть

(2)

ni,− (t0 ) ⩽ ni,− (t0 ), ni,+ (t0 ) ⩾ ni,+ (t0 ) ∀i. Пусть yi (t), i ∈ Icam , t ⩾ t0 ,  результаты измерений,

(1) (2) (1) (2)

не зависящие от оценок ин ормационных множеств. Тогда ∀t ⩾ t0 n(1) (2) (1) i,− (t) ⩽ ni,− (t), ni,+ (t) ⩾

(2)

⩾ ni,+ (t) ∀i.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся индукцией по t ⩾ t0 . Пусть для некоторого t ⩾ t0

(1) (2) (1) (2) ni,− (t) ⩽ ni,− (t), ni,+ (t) ⩾ ni,+ (t). Проделаем один шаг динамики для поиска оценок ин ормаци- онного множества в следующий момент времени. Справедливы неравенства

(1)                                         (2)
(i)          ni,− (t)                       (i)          ni,− (t)
min{λj,− αj,− (t)vij,−          , Fij,− } ⩽ min{λj,− αj,− (t)vij,−          , Fij,− } ∀i, j,
Si                                         Si
(1)     !                   (2)      !
Cj − nj,+(t)                 Cj − nj,+(t)
wij,−                      ⩽ wij,−                      ∀i, j.
Sj                         Sj
(1)      (2)
Следовательно, для соответствующих потоков справедливо неравенство fij,− (t) ⩽ fij,− (t). Ана-
логично,

(1)                                         (2)
(i)          ni,+ (t)                       (i)          ni,+ (t)
min{λj,+ αj,+ (t)vij,+          , Fij,+ } ⩾ min{λj,+ αj,+ (t)vij,+          , Fij,+ } ∀i, j,
Si                                         Si
Управление потоками людей в здании во время эвакуации

(1) ! (2) !

Cj − nj,− (t) Cj − nj,−(t) wij,+ ⩾ wij,+ ∀i, j,

Sj Sj

(1) (2) (1) (2) (1) а значит fij,+ (t) ⩾ fij,+ (t). Применяя ормулу (11), получим ni,− (t + ∆t) ⩽ ni,− (t + ∆t), ni,+ (t +

(2)

+ ∆t) ⩾ ni,+ (t + ∆t).

∗

С л е д с т в и е. Если ni (t), t ⩾ t0 ,  истинное решение системы (3)(7), которому соответ- ствуют результаты измерений yi (t), то для любой из рассматриваемых оценок ин ормационного

∗ ∗ множества из включения ni (t0 ) ∈ [ni,− (t0 ), ni,+ (t0 )] ∀i, следует, что ni (t) ∈ [ni,− (t), ni,+ (t)] ∀t ⩾ t0 .

За иксируем целевое положение n(0) системы (11) в момент времени t = 0, в котором ni,+ (0) = ε, ni,− (0) = 0, i = 1, . . . , N , и nN +1,+ (0) = +∞, nN +1,− (0) = 0. Построив трубку разрешимости рассматриваемой системы, выпущенную из целевого положения при t ⩽ 0, можно

∗ точно найти величину K , аналогично тому, как решается задача быстродействия для систем обыкновенных ди

еренциальных уравнений [10℄. Однако рассматриваемая система обладает сложной нелинейной динамикой: при заданном управлении невозможно однозначно найти ni,s (t) при известных ni,s (t + 1). В связи с этим построим лишь внутренние аппроксимации трубки разрешимости, которые позволят оценить величину K

∗ сверху.

За иксируем некоторое значение t < 0, азовый вектор ñ(t + ∆t) системы (11), а также до- пустимое управление U (t). При известных коэ

ициентах расщепления рассмотрим следующую вспомогательную задачу линейного программирования относительно переменных ñi,s (t), fij,s (t), i ∈ Iact , j ∈ Iact ∪ {N + 1}, s ∈ {−, +}:

 P P

(f (t) + fij,+ (t)) → max,

 i∈Iact Tij ∈T ij,−







  P 

 P ñ (t) = ñ (t + ∆t) ∆t f (t) f (t) , ∀i ∈ Iact , s ∈ {−, +},



 i,s



 i,s − ji,s − ij,s̄





 Tji ∈T Tij ∈T

0 ⩽ ñi,− (t) ⩽ ñi,+ (t) ⩽ βCi , i ∈ Iact , (16)

 0 ⩽ fij,s(t) ⩽ α(i)



 ñi,s (t) j,s (t)vij,s Si , ∀i ∈ Iact , j ∈ Iact ∪ {N + 1}, s ∈ {−, +},



 fij,s(t) + γfji,s̄(t) ⩽ Fij,s , ∀i ∈ Iact , j ∈ Iact ∪ {N + 1}, s ∈ {−, +},







 P fij,s (t) Cj −ñj,s̄ (t) wij,s ⩽ , ∀j ∈ Iact .







 Sj i∈Iact ,Tij ∈T

Данная задача может иметь не единственное решение. В этом случае будем использовать решение {ñi,s (t), fij,s }, евклидова норма которого является максимальной. Из (16) следует, что в найденной точке {ñi,s (t)} потоки {fij,s} между комнатами соответствуют вспомогательным задачам оптимизации (12), т.е. подсчитанные количества людей в моменты времени t и t + ∆t соответствуют рассматриваемой модели эвакуации. Более того, в момент времени t гарантировано отсутствие давки.

Те о р е м а Пусть в момент времени t = 0 задано состояние ñ(0) системы , в ко-

1. (11) тором ñi,+(0) = ε, ñi,−(0) = 0, i = 1, . . . , N, ñN +1,+(0) = +∞, ñN +1,−(0) = 0. Для некоторых иксированных U (t) ∈ P(−∞,0], t = −M ∆t, . . . , −∆t, пусть удалось построить компоненты ре- шения {ñi,s(t) : i ∈ Iact} задач . Предположим, что известные из , оценки начального

(16) (9) (10) состояния системы удовлетворяют следующим неравенствам:

ni,+ (0) ⩽ ñi,+ (−M ∆t), ∀i ∈ Iact .

Тогда задача безопасной эвакуации разрешима, причем K ∗ ⩽ M . Такую эвакуацию, в частности, можно осуществить при помощи управления u(t) = U (t − M ∆t) t = 0, ∆t, . . . , (M − 1)∆t , .

Доказательство теоремы вытекает из того, что ñ(t) образует безопасное (в силу (16)) решение системы (11), а также из доказанной выше леммы.

Заметим, что использование теоремы 1 для поиска подходящей оценки K

∗ предполагает пе-

ребор допустимых управлений U (t) в разные моменты времени. Полный перебор может быть крайне сложной задачей. Однако при известной оценке начального состояния данная задача от- носится к классу задач поиска кратчайшего дискретного пути и может быть решена достаточно э

ективно, например, при помощи алгоритма Дейкстры [11℄.

14 Зайцева М. В., Точилин П. А.

Для вывода нижней оценки величины K

∗ заметим, что если в момент t

0 в i-й комнате нахо- дится большое количество людей, то им нужно не менее чем di (y(t0 )) единиц времени для того, чтобы достичь выхода. Отсюда следует

Те о р е м а 2. Для минимального времени безопасной эвакуации справедлива следующая оценка : n o

K ∗ ⩾ max di (y(t0 )) : i ∈ Iact , ni,+ (t0 ) > ε · di (y(t0 )) .

9. Задача оптимального управления.

ассмотрим теперь более общую ситуацию, когда в помещениях есть спасатели. Будем считать выполненным следующее предположение: каждый спасатель, имеющий инструкции о перемещении по конкретному маршруту эвакуации, за время

∆t проходит одно соединение между соседними комнатами.

Задача управления : в текущий дискретный момент времени t необходимо построить программ- ное управление U (·) ∈ P[t,τK−1 ] , учитывающее все поступившие к данному моменту результаты измерений y[t0 , t] = {y(τ ) : τ ∈ [t0 , t]}. Это управление должно минимизировать следующий ункционал:

X n                                          K
X                         o
J(U (·)) =                ni,+ (τK ) · di (y[t0 , t]) + µ         [ni,+ (τk ) − βCi ]+ ,           (17)
i∈Iact (t)                                     k=1

τk = t + k∆t, k = 1, . . . , K . Здесь µ > 0  достаточно большое число, задающее штра за допустимую давку, возникшую при эвакуации, а [c]+ = max{c, 0}.

Сначала иксируем некоторое целое число K > 0  длину горизонта планирования. Так как в описанной математической модели имеется множество неопределенных акторов, то планиро- вание на большой горизонт времени не имеет смысла, а значит число K должно быть достаточно малым. Предположим, что Iem (τ ) = const, ∀τ = t + k∆t, k = 0, . . . , K − 1.

K дискретных единиц времени алгоритм будет заново

Предполагается, что через каждые рассчитывать управление на следующие K единиц времени, используя ин ормацию y(·), ко- торая поступит к тому времени. При этом пересчет ин ормационного множества (интервалов

[ni,− (t), ni,+ (t)]) производится каждый текущий момент времени с учетом поступающих резуль- татов измерений. Данная схема позволяет актуализировать управление по принципу обратной связи с учетом поступающей ин ормации.

ˆi (y[t0 , t]), i = 1, . . . , N ,  рассто-

В дальнейшем нам понадобится вспомогательная величина d яние от i-й комнаты до множества комнат, в которых была за иксирована ЧС. Эта величина может быть подсчитана согласно алгоритму, аналогичному приведенному выше, для di (y[t0 , t]).

9.1. Субоптимальное управление. В случае нетривиального плана помещения с боль- шим количеством комнат даже для одношаговой задачи управления (при K = 1) минимизация ункционала (17) сводится к перебору большого количества вариантов допустимых стратегий в азовом пространстве большой размерности. В общем случае найти минимум ункционала за небольшое время не представляется возможным. В связи с этим интерес вызывает разработка различных субоптимальных допустимых стратегий, основывающихся на эвристиках и рассчи- тывающихся максимально быстро в режиме реального времени. Ниже будет приведен пример такого алгоритма, который использует следующие интуитивно понятные эвристики.

€ Более приоритетным является эвакуация людей, находящихся ближе к зоне ЧС.

€ Среди комнат, находящихся на одном и том же расстоянии до зоны ЧС, наиболее приори- тетной является эвакуация людей из тех комнат, где больше людей.

€ В каждый момент времени эвакуация людей из конкретной комнаты должна производиться таким образом, чтобы максимально уменьшить значение ункционала (17) на одном шаге по времени.

Управление потоками людей в здании во время эвакуации

Алгоритм

1. Для RN +1 пусть α

(N +1) (τ ) ≡ α(N +1),0 , ∀τ = t, t + ∆t, . . . , t + (K − 1)∆t.

2. Для Ri : i ∈ {1, . . . , N } и ∃ Ti(N +1) пусть α

(i) (t) ≡ α(i),N +1 , ∀τ = t, t + ∆t, . . . , t + (K − 1)∆t.

3. Для каждого i ∈ {1, . . . , N }, не обработанного в пп. 1 и 2, изначально положим α

(i) (τ ) ≡ α̃(i) ,

∀τ = t, t + ∆t, . . . , t + (K − 1)∆t.

4. Пусть τ = t. Множество Isav (t) определено на основании доступных результатов измерений y([t0 , t]). При θ > t положим Isav (θ) = ∅  эти множества будут пополняться по ходу выполне- ния алгоритма, когда станет понятно направление движения каждого конкретного спасателя.

5.

ассчитаем величину ункционала V из (17) при текущем управлении.

6. Пусть

I1 = {i ∈ Iact (t) ∩ (Itab ∪ Isav (τ )) : α(i) (τ ) = α̃(i) }, далее из этого множества выберем комнаты, находящиеся вблизи от места ЧС:

Î1 = arg min{dˆi (y[t0 , t])},       i∗ = arg max{ni,+ (τ )}.
i∈I1                                i∈Î1

7. Если удалось определить i , то:

∗

а) для комнаты Ri∗ перебираются все возможные значения управления α

(i∗ ),j , которые не

противоречат условиям допустимости совокупного управления U (τ ), если в соседних ком- натах ранее уже могли быть за иксированы определенные значения управления. Здесь j = i∗ либо j  это номер комнаты, в которую можно попасть из Ri∗ . Заметим, что управление α

(i∗ ),i∗ является допустимым;

б) в процессе перебора для каждого возможного значения α

(i∗ ),j рассчитывается значение

ункционала Vj при условии использования в комнате Ri управления α

(i∗ ),j в момент

времени τ ;

в) производится поиск наименьшего из рассчитанных значений Vj . Пусть j

∗  соответству-

ющий минимизатор;

г) положим α

(i∗ ) (τ ) = α(i∗ ),j ∗ , V = V ∗ ;

j д) если i

∗ ∈I ∗ sav (τ ) и τ < τK , то положим Isav (τ + ∆t) = Isav (τ + ∆t) ∪ {j }.

8. Если очередной номер i

∗ определить не удалось, то:

a) если τ < τK , то:

i) согласно (11) подсчитаем оценки ин ормационного множества в момент времени τ +

+ ∆t, при уже иксированном управлении в момент времени τ ;

ii) положим τ = τ + ∆t, и алгоритм переходит к п. 6;

б) если же τ = τK , то алгоритм завершает работу, на выходе построено допустимое управ- ление.

В приведенном алгоритме самым сложным с точки зрения вычислений пунктом является п. 7. Перебор минимизируемого значения ункционала Vj ∗ можно упростить за счет следующего замечания. Если в какой-либо комнате Ri меняется управление α

(i) (τ ), то при τ = τk , . . . , τK k в соответствии с (3) это приведет к изменению числа людей лишь в части комнат с номерами j из множества I(i, τ − τk ), отстоящих от комнаты Ri на расстоянии, не превосходящем τ − τk .

Множество I(i, τ − τk ) может быть определено следующим алгоритмом.

16 Зайцева М. В., Точилин П. А.

1. Положим I(i, τ − τk ) = {i}, m = 0.

2. Пусть n o

J = s ∈ Iact (t), s ∈

/ I(i, τ − τk ), ∃j ∈ I(i, τ − τk ) : Tjs ∈ T .

3. Если J 6= ∅, то положим I(i, τ − τk ) = I(i, τ − τk ) ∪ J , m = m + 1.

4. Если либо J = ∅, либо m∆t ⩾ τ − τk , то алгоритм завершает работу. В противном случае он снова переходит к п. 2.

Использование множеств I(i, τ − τk ) может существенно уменьшить вычислительную сложность приведенного выше основного алгоритма.

После применения основного изложенного алгоритма можно получить сле-

Т е о р е м а 3.

дующие результаты:

€ верхнюю оценку V минимизируемого ункционала качества J(U (·)) при условии, что на рассматриваемом горизонте времени множество Iem(t) не изменится;

€ множества Isav (t) позволяют восстановить маршруты движения спасателей на рас- сматриваемом горизонте;

€ справедливы нижняя и верхняя оценки количества людей, которые на рассматриваемом горизонте времени завершат эвакуацию:

X K nN +1,s (τK ) = (τi − τi−1 )fi(N +1),s (τi ), s ∈ {−, +}.

Ti(N+1) ∈T i=1

10. Пример работы алгоритма. Для наглядной иллюстрации с ормулированного алго- ритма рассмотрим план небольшого торгового центра, изображенного на рис. 2, a

.

а б ис. 2. Вид помещения: а  план помещения (стрелками обозначены выходы из здания); б  гра помещения (в вершинах указаны номера комнат)

Данному помещению соответствует ориентированный гра

, представленный на рис. 2, б . Каж- дое ребро в нем является двунаправленным, однако для компактности схемы опустим все стрел- ки. Кроме того, будем считать, что в каждой комнате доступны корректные данные системы видеонаблюдения, а также установлены ин ормационные табло или присутствуют спасатели:

Icam = Itab ∪ Isav = {1, . . . , 15}.

Управление потоками людей в здании во время эвакуации

Пусть в помещении находится           n = 500 человек, они распределены по комнатам так, как
изображено на рис. 3. Предположим, в момент времени           t0 = 0 стало известно о возгорании
в комнате 10: Iem (t0 ) = {10}.

ис. 3. Исходное распределение людей по комнатам

Сначала промоделируем ситуацию, когда в системе отсутствуют какие-либо инструкции по направлению движения, и каждый человек пытается эвакуироваться через ближайший для него выход. Из-за этого практически сразу в комнате 12 появляется толпа, которая мешает эвакуиро- ваться из комнаты 9. Большинство людей, находящихся в комнатах 9 и 11, выбирают кратчайший путь к выходу и пытаются попасть в коридор (комнаты 12, 13), практически не учитывая воз- можности выйти из здания через комнату 15. Из-за возникшей толпы часть людей не успевает покинуть комнату 11 до того момента, когда туда распространится пожар. В итоге погибает 21 человек.

Теперь посмотрим, как изменится процесс эвакуации, если находящимся в здании людям по- ступает ин ормация от центра управления эвакуацией. В приоритетном порядке из помещения эвакуируются люди из комнат 9 и 11, так как там находится большое число людей, и, кроме то- го, данные комнаты граничат с комнатой 10, из которой распространяется пожар. Только через некоторое время дается разрешение покидать комнаты 1, 2, 7 и 8. В таком случае на началь- ных этапах не возникает давки, и люди быстрее выходят из здания. В итоге погибают только 2 человека.

СПИСОК ЛИТЕ

АТУ

Ы

1. Y u Y., C h e n C., G u Z. P. A review of behavior me hanisms and rowd eva uation animation in emergen y exer ises // J. Zhejiang University. 2013. 14. P. 477485.

2. А к о п о в А. С., Б е к л а р я н Л. А. Агентная модель поведения толпы при чрезвычайных ситуаци- ях // Автоматика и телемеханика. 2015. Вып. 10. С. 131143.

3. Q i n W., S u G., L i X. Te hnology for simulating rowd eva uation behaviors // Intern. J. Automation and Computing. 2009. 6. P. 351355.

4. H e l b i n g D., F a r a s I., V i s e k T. Simulating dynami al features of es ape pani // Nature.

2000. 407. P. 487490.

5. K a h r o o P., A l - n a s u r S. J., W a d o o S. A., S h e n d e A. Pedestrian Dynami s. Feedba k Control of Crowd Eva uation. Springer, 2008.

6. P i o l i B., G a r a v e l l o M. Tra

Flow on Networks. Spring eld: Ameri an Institute of Mathemati al

S ien es, 2006.

7. D a g a n z o C. F. The ell transmission model: a dynami representation of highway tra onsistent with the hydrodynami theory // Transp. Res.-B. 1994. 28B. N 4. P. 269287.

8. Д о р о г у ш Е. . Математический анализ модели транспортных потоков на автостраде и управлением ее состоянием. Дис. . . канд.

из.-мат. наук. М., 2014.

9. К у р ж а н с к и й А. Б., К у р ж а н с к и й А. А., В а р а й я П.

оль макромоделирования в активном управлении транспортной сетью // Труды МФТИ. 2010. 2. ќ 4. C. 100118.

10. K u r z h a n s k i A.B., V a r a i y a P. Dynami s and Control of Traje tory Tubes. Birkhauser, 2014.

18 Зайцева М. В., Точилин П. А.

11. L a V a l l e S. M. Planning Algorithms. Cambridge University Press, 2006.

Поступила в редакцию 24.08.20

После доработки 14.09.20

Принята к публикации 14.09.20